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Spielwiese für Nachdenkliche:
Nachgefragt ... Nachgehakt ...

Ausführliches zu Spielwiese für Nachdenkliche

Formal unentscheidbare Sätze


Erläuterung


Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Die mathematischen Grundlagen der Naturphilosophie), oft auch Principia Mathematica oder einfach Principia genannt, ist das Hauptwerk von Isaac Newton.
Nicht damit zu verwechseln sind die Principia Mathematica von ALFRED NORTH WHITEHEAD und BERTRAND RUSSELL.

Die letzteren versuchten, die Mathematik auf der Grundlage eines Axiomensystems abzusichern. Dabei ließen sie sich von der Metapher der axiomatischen Methode der elementaren Geometrie leiten. Die axiomatische Methode besteht darin, dass Axiome als unmittelbar gegebene Voraussetzung die Grundlage für logische Folgerungen bilden, aus denen die restlichen Sätze eines theoriegeleiteten Aussagesystems hervorgehen.

Die elementare Geometrie beruht darauf, dass zur Konstruktion ihrer Figuren nur Lineal und Zirkel verwendet werden dürfen. Axiome sind z.B. die Aussage, dass eine Gerade durch zwei Punkte definiert wird.

Dies war eine mächtige, faszinierende Metapher, die auf viele Bereiche des Denkens übertragen wurde. Zurzeit der Principia Mathematica, von der hier die Rede ist, stellte sich jedoch heraus, dass keine grundlegenden Aussagen getroffen werden können, die ein in sich widerspruchsfreies Aussagensystem ergeben. Bertrand Russell fand z.B., dass der intuitive Begriff "Menge" zur Russellschen Antinomie führt. Denn der intuitive Begriff "Menge" umfasst auch "Mengen von Mengen" und "Mengen, die sich nicht selbst enthalten". Unabhängig davon, ob es solche "Mengen, die sich nicht selbst enthalten" in der Realität wirklich gibt, ist diese Menge entsprechend dem naiven Mengenbegriff zunächst eine legitime Menge. Wäre aber x ein Element dieser Menge, kann es nicht in dieser Menge enthalten sein, denn es ist ja Element der Menge, die sich nicht selbst enthält. - Ist andererseits x kein Element der Menge, dann erfüllt x die Definition der Zugehörigkeit zu dieser Menge.

Diese Antinomie erscheint spitzfindig. Sie führte jedoch dazu, dass die Vorstellung eines naiven grundlegenden unmittelbar gegebenen Mengenbegriffs aufgegeben werden mußte. Denn es gibt offenbar Gedankenkonstruktionen, die Sachlagen erfinden, die zu unauflösbaren Aussagen führen. Die Aussage "x ist Element der Menge, die alle Mengen umfasst, die sich nicht selbst enthalten" ist unabhängig von der Existenz eine korrekt konstruierte Aussage, deren Konstruktion jedoch von vornherein beinhaltet, dass über x nichts entschieden werden kann.

Dies sind formal unentscheidbare Sätze. Und deren Existenz führt über zwei Schritte - die Gödelisierung und das Diagonalverfahren - zu der Aussage, dass es in Systemen von Aussagen, die auf sich selbst angewandt werden können (Selbstreferenzialität), unbeweisbare Aussagen gibt.

Dies hat zwei Konsequenzen. Der Mensch kann immer wieder Aussagen erfinden, die mit einem Axiomensystem nicht beweisbar sind. Und ein Aussagensystem kann wegen der Selbstreferenzialität seine eigene Schlüssigkeit nicht auf den Grundlagen beweisen, die es sich selbst gibt.

Denken kann nicht bis in die letzte Konsequenz formalisiert werden.

Es gibt keine abschließende Denkstruktur, die die Realität irgendwann vollständig abbilden kann. Daher hat die Realität uns nichts zu sagen, denn wir können keinen Geisteszustand erreichen, der "Realität" wiedergibt. Denken funktioniert nicht wie Realität, sondern Denken erfindet Orientierung in der Realität.



Literatur :
Der Gödelsche Beweis - Ernest Nagel/James R. Newman - München 1992
Gödel's Inkompleteness Theorems - Raymond M. Smulliyan - New York, Oxford 1992