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Spielwiese für Nachdenkliche:
Nachgefragt ... Nachgehakt ...

Ausführliches zu Spielwiese für Nachdenkliche

Gödelisierung


Erläuterung


...,zeigte Gödel, daß metamathematische Sätze über einen formalisierten arithmetischen Kalkül tatsächlich durch arithmetische Formeln innerhalb des Kalküls repräsentiert werden können.(Nagel/Newman, S.68)

Es ist möglich, innerhalb des Kalküls die Aussage "Dieser Kalkül ist widerspruchsfrei" zu konstruieren ... und diese Aussage wäre innerhalb des Kalküls nicht beweisbar.

Beispiel einer Gödelisierung: Es besteht die Reihe der Primzahlen 2,3,5,7,11,13, ...
Und es gäbe eine Symboltabelle A,B,C,D
Jeder beliebigen Kombination AABDDC dieser Symbole kann dann eine Zahl zugewiesen werden, die diese Kombination eindeutig identifiziert:
A=1,B=2,C=3,D=4,
dann kann die Kombination AABDDC auf die Reihe der Primzahlen übertragen werden:
(2 hoch 1) * (3 hoch 1) * (5 hoch 2) * (7 hoch 4) * (11 hoch 4) * (13 hoch 3).
Da die Primfaktorzerlegung eindeutig ist, ist dieses Produkt die eindeutige Kennziffer der Zeichenkette AABDDC.

Durch diesen Kunstgriff hat Gödel die Formelsprache der Logik auf ein zahlentheoretisches Problem abgebildet.



Literatur :
Der Gödelsche Beweis - Ernest Nagel/James R. Newman - München 1992
Gödel's Inkompleteness Theorems - Raymond M. Smulliyan - New York, Oxford 1992